1826年,在俄罗斯喀山大学的教学楼内,召开了一场学术研讨会,参与学术研讨会的人都是俄罗斯数学界的大佬。在严肃的学术会议上,平日里被大家寄予厚望的年轻数学家罗巴切夫斯基上台发言时,突然讲起了令人匪夷所思的数学理论:平行线可以相交,三角形内角之和不等于180°等等古怪的定理。
听着罗巴切夫斯基“荒谬”的言论,在场的人都感到吃惊和疑惑,随后又转变成了否定和怀疑。有人可能认为他的脑子是不是进水了?
罗巴切夫斯基
发言结束后,在场没有人参与讨论,一片寂静。台下的评论专家分别是当时俄罗斯数学界大名鼎鼎的西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼三人组。他们的态度很明显是否定的,更没有给出任何的意见和建议。
在小学的数学课本里,我们学过几个重要的定义,比如,三角形内角和等于180°,两平行线一定不相交等等,这些都是数学中的常识知识,亘古不变的定律,没有人会提出质疑。
如果你在数学课堂上提出:老师,两条平行线是可以相交的。
老师肯定说:小明,你出去!
“两条平行线永不相交”这一定律是由古希腊数学家欧几里得在公元前4世纪提出的,早期时,代数、几何曾是数学的两大分支,代数很好理解,与数和计算息息相关。几何呢?咋们通常默认为一些图形的推导和计算。
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平行线
在几何诞生之初,欧几里得在人们公认的一些几何知识基础上,开始重点研究图形的性质。推导出了若干个定理,整理并撰写了《几何原本》,《欧氏几何》就此诞生。
在《几何原本》中,有以下五个基础公设。
1. 由任意一点到任意一点可作直线。
2. 一条有限直线可以继续延长。
3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
4. 凡直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。
什么是公设?就是不需要解释,大家都明白的命题,比如太阳从东方升起,一加一是等于二的。不需要证明,但必须加以承认的某些陈述或命题。公设是任何学科的基础,任何学科有了公设之后,才能进一步拔地而起,类似于修建摩天大楼的地基。由这五条公设推导出来的,我们称它为“命题”。
以上五条公设中,前四条大家一看简单明了,不需要转弯抹角理解,但第五条,非常的啰嗦,结论也没那么显然易见。
在《几何原本》中,欧几里得直到“第二十九条命题”才使用“第五公设”进行推理,也就是说,不依靠“第五公设”就已经能推出前“二十八个命题”了。而且“二十九命题”之后也没使用过“第五公设”。“第五公设”推出的“第二十九条命题”到底是什么呢?
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德国数学家黎曼
这就是几何史上著名的“平行线理论”,根据第五公设推出两条平行线是不相交的。这一命题在19世纪之前,一直被人们视为真理。
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基对于第五公设产生了浓厚的兴趣,一直想给出合理的证明。他与其他数学家不同,他利用的是反证法,什么是反证法?给大家举个例子,比如:有甲、乙两个盒子,甲盒子中放一个红球,乙盒子不放球,为证明红球在甲盒中,可以查看乙盒中是否有红球,如果乙盒中没有红球,则证明红球在甲盒中,这就是反证法。
罗巴切夫斯基利用反证法,假设一个与平行公理相矛盾的命题,用其代替第五公设,和前四个公设一起成为一个新的公理系统,并进行了一系列的推理。如果证明过程中出现了矛盾,那就说明第五条公设是正确的。结果,罗巴切夫斯基经过层层推理,得出结论:第五公设无法被证明。
得到了新的几何学命题后,罗巴切夫斯基将其整理,正式命名为:《罗氏几何》,也叫《非欧几何》。同此同时,匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设是不可证明,验证了《非欧几何》一说。
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罗巴切夫斯基几何
如今,如果我们科学上研究出一个新的发现,那肯定是要被赞扬的,还可能获得诺贝尔奖,但在当时的欧洲,匈牙利数学家鲍耶·雅诺对于此发现根本不敢发表,如同发现《进化论》的达尔文一样,惧于当时教会力量的迫害,选择隐忍。社会上如此,在家中也是如此,鲍耶·雅诺的理论也遭到了数学家的父亲鲍耶·法尔卡的反对。1832年,鲍耶·雅诺的研究结果终于得以面世,只是隐藏发表在他父亲的一本著作的附录里,更别说站出来支持罗巴切夫斯基了。
在19,美国的一位物理学家正在撰写《相对论》,然而当时现有的《欧式几何》无法与《相对论》相匹配,随后,他发现《非欧几何》与《相对论》极好的贴合,让他甚是高兴他引用《非欧几何》来描述他的广义相对论空间,获得巨大成功,他还证明了非欧空间是物质运动的一种存在形式。历史终究是公平的,《非欧几何》最终还是得到的应有的重视,这位物理学家就是爱因斯坦。
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爱因斯坦
然而,率先提出《非欧几何》的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基,在提出《非欧几何》后,一直被质疑,后郁郁而终。因为他对数学的贡献,俄国的喀山大学为其立碑造雕像,以便纪念这一位伟大的数学家。
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罗巴切夫斯基
读到这里,大家可能还是会有疑惑,《非欧几何》如何证明平行线是可以相交的呢?又如何证明三角形内角和大于180°呢?