等差数列
【考纲要求】
1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系.
4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.
5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；
6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
【考点梳理】
【高清课堂：等差数列382420知识要点】
考点一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.
要点诠释：
(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－
=d (n
2, n∈N※)（d为常数）
(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为
(3)证数列{}是等差数列的方法：
①
(n≥2)（d为常数）；
②
为
和
的等差中项。
考点二、通项公式
(归纳法和迭加法)
要点诠释：
①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n
)
②式中、
、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。
④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，
当k=d>0时，{}为递增数列；
当k=d<0时，{}为递减数列；
当k=d=0时，{}为常数列。
考点三、通项公式的性质：
（1）等差中项：
、
、
成等差数列，则
；
（2）通项公式的推广：
（3）若
，则
；
特别，若
，则
（4）等差数列
中，若
.
【典型例题】
类型一：等差数列的概念、公式、项的性质
例1.（1）－20是不是等差数列0，
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数
值，使得等于这一数.
【解析】（1）由题意可知：
,
，
∴此数列的通项公式为：
,
令
,解得
，
所以－20不是这个数列的项.
（2）根据题意可得：
,
.
∴此数列通项公式为：
（
,
）.
令
,解得：
,
∴100是这个数列的第15项.
【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项
和公差
，写出通项公式
.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项
【解析】由
，
，∴
.
【变式2】求集合
的元素的个数，并求这些元素的和
【解析】∵
， ∴
，
∵
，∴
中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，
即
，
，
，
∴
.
例2、已知等差数列
中，
,
，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。
【解析】法一：由通项公式，得
，
∴
,
由
，解得
.
∴217是此数列的第61项。
法二：由等差数列性质得
，即
,
又
，
∴
,得
.
∴217是此数列的第61项。
法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，
∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上，
∴
，得
。
∴217是此数列的第61项。
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。
举一反三：
【变式1】等差数列
中，已知
，a2+a5=4，an=33，则n是（ ）
A.48B.49C.50D.51
【答案】C；
【解析】由已知得
例3．若数列
为等差数列，
,
,求
；
【解析】法一：令数列
的首项为
，公差为d，则
即
解之有：
，
∴
.
法二：∵,
,
∴90=10+30d∴
,
∴
.
法三：∵
为等差数列，
,
,
∴
,
(n∈N).
∴
解之有
，
∴
.
法四：∵
为等差数列，
∴
、
、
、
,…为等差数列，
∴
， 又
，
∴
.
【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：
【变式】若数列
为等差数列，
,
,且公差
求
；
【解析】∵
为等差数列 ∴
又∵
∴
、
是方程
的根
∴
或
（舍去）
以下解法同例2（1）得
类型二：等差数列的判断与证明
【高清课堂：等差数列382420典型例题三】
例4．设
为数列
的前n项和，且
.求证：数列
为等差数列．
【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。
证明：由
得
，所以
整理得
，又得
相减并整理得:
所以数列
是个等差数列
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.
举一反三：
【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn=
，求证：{an}是等差数列；
【答案】an+1= Sn+1–Sn
,
∴8an+1=
,
∴
,
∴
，
∵an∈N*，∴
，
∴
，即
，
∴数列{an}是等差数列.
例5．设{an}是等差数列,证明以bn=
(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时，
=
-
=
=
=
=
(常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和
,
∴bn=
∴{bn}是等差数列.
