等差数列
【考纲要求】
1.理解等差数列概念.
2.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
3.了解等差数列与一次函数的关系.
4.灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题,认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.
5.掌握常见的求等差数列通项的一般方法;
6.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
【知识网络】
【考点梳理】
【高清课堂:等差数列382420知识要点】
考点一、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.
要点诠释:
(1){}为等差数列(n∈N※)-
=d (n
2, n∈N※)(d为常数)
(2)等差中项:若三个数a,x,b成等差,则x称为数a,b的等差中项。任意实数a,b的等差中项存在且唯一,为
(3)证数列{}是等差数列的方法:
①
(n≥2)(d为常数);
②
为
和
的等差中项。
考点二、通项公式
(归纳法和迭加法)
要点诠释:
①{}为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n
)
②式中、
、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征:等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数),一次项系数k为公差d。
④几何意义:点(n,)共线;=kn+b中,
当k=d>0时,{}为递增数列;
当k=d<0时,{}为递减数列;
当k=d=0时,{}为常数列。
考点三、通项公式的性质:
(1)等差中项:
、
、
成等差数列,则
;
(2)通项公式的推广:
(3)若
,则
;
特别,若
,则
(4)等差数列
中,若
.
【典型例题】
类型一:等差数列的概念、公式、项的性质
例1.(1)-20是不是等差数列0,
,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
(2)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要看是否存在一正整数
值,使得等于这一数.
【解析】(1)由题意可知:
,
,
∴此数列的通项公式为:
,
令
,解得
,
所以-20不是这个数列的项.
(2)根据题意可得:
,
.
∴此数列通项公式为:
(
,
).
令
,解得:
,
∴100是这个数列的第15项.
【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项
和公差
,写出通项公式
.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三:
【变式1】求等差数列8,5,2…的第21项
【解析】由
,
,∴
.
【变式2】求集合
的元素的个数,并求这些元素的和
【解析】∵
, ∴
,
∵
,∴
中有14个元素符合条件,
又∵满足条件的数7,14,21,…,98成等差数列,
即
,
,
,
∴
.
例2、已知等差数列
中,
,
,试问217是否为此数列的项?若是,说明是第几项?若不是,说明理由。
【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项,基本的思路是先得到这个数列的通项公式,再验证这个数值是否为其中的某项。
【解析】法一:由通项公式,得
,
∴
,
由
,解得
.
∴217是此数列的第61项。
法二:由等差数列性质得
,即
,
又
,
∴
,得
.
∴217是此数列的第61项。
法三:由等差数列的几何意义可知,等差数列的图象是一些共线的点,
∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上,
∴
,得
。
∴217是此数列的第61项。
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时,要熟悉其基本概念,基本公式及性质。
举一反三:
【变式1】等差数列
中,已知
,a2+a5=4,an=33,则n是( )
A.48B.49C.50D.51
【答案】C;
【解析】由已知得
例3.若数列
为等差数列,
,
,求
;
【解析】法一:令数列
的首项为
,公差为d,则
即
解之有:
,
∴
.
法二:∵,
,
∴90=10+30d∴
,
∴
.
法三:∵
为等差数列,
,
,
∴
,
(n∈N).
∴
解之有
,
∴
.
法四:∵
为等差数列,
∴
、
、
、
,…为等差数列,
∴
, 又
,
∴
.
【总结升华】依条件恰当的选择入手公式,性质,从而简洁地解决问题,减少运算量。
举一反三:
【变式】若数列
为等差数列,
,
,且公差
求
;
【解析】∵
为等差数列 ∴
又∵
∴
、
是方程
的根
∴
或
(舍去)
以下解法同例2(1)得
类型二:等差数列的判断与证明
【高清课堂:等差数列382420典型例题三】
例4.设
为数列
的前n项和,且
.求证:数列
为等差数列.
【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列,需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的,所以应该从前n项和的思路着手考虑。
证明:由
得
,所以
整理得
,又得
相减并整理得:
所以数列
是个等差数列
【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.
举一反三:
【变式】已知数列{an},an∈N*,Sn=
,求证:{an}是等差数列;
【答案】an+1= Sn+1–Sn
,
∴8an+1=
,
∴
,
∴
,
∵an∈N*,∴
,
∴
,即
,
∴数列{an}是等差数列.
例5.设{an}是等差数列,证明以bn=
(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的,这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时,
=
-
=
=
=
=
(常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和
,
∴bn=
∴{bn}是等差数列.