1826年，在俄罗斯喀山大学的教学楼内，召开了一场学术研讨会，参与学术研讨会的人都是俄罗斯数学界的大佬。在严肃的学术会议上，平日里被大家寄予厚望的年轻数学家罗巴切夫斯基上台发言时，突然讲起了令人匪夷所思的数学理论：平行线可以相交，三角形内角之和不等于180°等等古怪的定理。
听着罗巴切夫斯基“荒谬”的言论，在场的人都感到吃惊和疑惑，随后又转变成了否定和怀疑。有人可能认为他的脑子是不是进水了？p
发言结束后，在场没有人参与讨论，一片寂静。台下的评论专家分别是当时俄罗斯数学界大名鼎鼎的西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼三人组。他们的态度很明显是否定的，更没有给出任何的意见和建议。
在小学的数学课本里，我们学过几个重要的定义，比如，三角形内角和等于180°，两平行线一定不相交等等，这些都是数学中的常识知识，亘古不变的定律，没有人会提出质疑。
如果你在数学课堂上提出：老师，两条平行线是可以相交的。
老师肯定说：小明，你出去！
“两条平行线永不相交”这一定律是由古希腊数学家欧几里得在公元前4世纪提出的，早期时，代数、几何曾是数学的两大分支，代数很好理解，与数和计算息息相关。几何呢？咋们通常默认为一些图形的推导和计算。p
在几何诞生之初，欧几里得在人们公认的一些几何知识基础上，开始重点研究图形的性质。推导出了若干个定理，整理并撰写了《几何原本》，《欧氏几何》就此诞生。
在《几何原本》中，有以下五个基础公设。
1.由任意一点到任意一点可作直线。
2.一条有限直线可以继续延长。
3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。
4.凡直角都相等。
5．若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
什么是公设？就是不需要解释，大家都明白的命题，比如太阳从东方升起，一加一是等于二的。不需要证明，但必须加以承认的某些陈述或命题。公设是任何学科的基础，任何学科有了公设之后，才能进一步拔地而起，类似于修建摩天大楼的地基。由这五条公设推导出来的，我们称它为“命题”。
以上五条公设中，前四条大家一看简单明了，不需要转弯抹角理解，但第五条，非常的啰嗦，结论也没那么显然易见。
在《几何原本》中，欧几里得直到“第二十九条命题”才使用“第五公设”进行推理，也就是说，不依靠“第五公设”就已经能推出前“二十八个命题”了。而且“二十九命题”之后也没使用过“第五公设”。“第五公设”推出的“第二十九条命题”到底是什么呢？p
这就是几何史上着名的“平行线理论”，根据第五公设推出两条平行线是不相交的。这一命题在19世纪之前，一直被人们视为真理。
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基对于第五公设产生了浓厚的兴趣，一直想给出合理的证明。他与其他数学家不同，他利用的是反证法，什么是反证法？给大家举个例子，比如：有甲、乙两个盒子，甲盒子中放一个红球，乙盒子不放球，为证明红球在甲盒中，可以查看乙盒中是否有红球，如果乙盒中没有红球，则证明红球在甲盒中，这就是反证法。
罗巴切夫斯基利用反证法，假设一个与平行公理相矛盾的命题，用其代替第五公设，和前四个公设一起成为一个新的公理系统，并进行了一系列的推理。如果证明过程中出现了矛盾，那就说明第五条公设是正确的。结果，罗巴切夫斯基经过层层推理，得出结论：第五公设无法被证明。
得到了新的几何学命题后，罗巴切夫斯基将其整理，正式命名为：《罗氏几何》，也叫《非欧几何》。同此同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设是不可证明，验证了《非欧几何》一说。p
如今，如果我们科学上研究出一个新的发现，那肯定是要被赞扬的，还可能获得诺贝尔奖，但在当时的欧洲，匈牙利数学家鲍耶·雅诺对于此发现根本不敢发表，如同发现《进化论》的达尔文一样，惧于当时教会力量的迫害，选择隐忍。社会上如此，在家中也是如此，鲍耶·雅诺的理论也遭到了数学家的父亲鲍耶·法尔卡的反对。1832年，鲍耶·雅诺的研究结果终于得以面世，只是隐藏发表在他父亲的一本着作的附录里，更别说站出来支持罗巴切夫斯基了。
在19，美国的一位物理学家正在撰写《相对论》，然而当时现有的《欧式几何》无法与《相对论》相匹配，随后，他发现《非欧几何》与《相对论》极好的贴合，让他甚是高兴他引用《非欧几何》来描述他的广义相对论空间，获得巨大成功，他还证明了非欧空间是物质运动的一种存在形式。历史终究是公平的，《非欧几何》最终还是得到的应有的重视，这位物理学家就是爱因斯坦。p
然而，率先提出《非欧几何》的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基，在提出《非欧几何》后，一直被质疑，后郁郁而终。因为他对数学的贡献，俄国的喀山大学为其立碑造雕像，以便纪念这一位伟大的数学家。p
读到这里，大家可能还是会有疑惑，《非欧几何》如何证明平行线是可以相交的呢？又如何证明三角形内角和大于180°呢？
