列方程解应用题是一元一次方程的主要应用。应用题是中小学学习、考试的热点,其联系实际、反映现实中的数量关系,所涉及的知识较多,综合性较强,具有一定灵活性。
列方程解应用题要求学生不仅能熟练地解方程,更要善于从实际问题中抽象出数学关系,并用代数式和方程表达出来。
列方程解应用题对学生的理解能力、分析能力、判断能力及计算能力都有较高的要求。
一丶行程问题
1、相遇与追及问题
例:甲丶乙两人分别从相距24千米的两地同时骑自行车出发,如果相向而行,那么1小时相遇;如果同向而行,那么6小时后甲可以追上乙,求甲、乙二人的速度。
分析:
相遇路程=相遇时间x甲速度+相遇时间x乙速度
乙速度=(相遇路程-甲行的路程)/相遇时间
追及路程=追及时间x甲速度-追及时间x乙速度
乙速度=(甲行的路程-追及的路程)/追及时间
解:设甲的速度为X千米/小时。
24-X=(6X-24)/6
解得Ⅹ=14,所以乙的速度为24-14=10千米/时
2、环形跑道问题
例:甲丶乙两同学从3200米的环湖道上的某一点背向出发,分别以每分120米和每分140米的速度慢跑,6分钟后,一只小狗从甲处以每秒380米的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以380米每秒的速度跑向甲,如此往返,直至甲丶乙第一次相遇,那么小狗一共跑了多少米?
分析:
路程=速度x时间
狗跑的时间比甲、乙第一次相遇的时间少6秒。
解:设甲、乙跑了X分钟后第一次相遇,则小狗跑了(X-6)分钟。
120X十140X=3200
X=20
380x(20-6)=5320千米。
3、行船与飞行问题
例:一艘船从甲地顺流而下,12小时后到达乙地,而沿原路从乙地返回甲地时,却花了14小时。已知水流的速度是2千米/小时,求甲、乙两地间的距离。
分析:
顺水船速=静水船速+水流速度
逆水船速=静水船速-水流速度
路程=速度x时间,顺水路程=逆水路程
顺水路程=顺水船速x顺水时间
逆水路程=逆水船速x逆水时间
解:设船在静水中的速度为X。
12(X+2)=14(X-2)
X=26
甲、乙两地的距离为12x(26+2)=336千米
二丶工程问题
例1:一件工程,甲单独做要10天完成,乙单独做要12天完成,丙单独做要15天完成,甲、丙先合做了3天后,甲因事离去,由乙、丙合做,问还需几天才能完成?
分析:
工作总量=工作效率x工作时间,常将工作总量设为1。
甲单独做10天完成,所以甲工作效率为1/10;
乙单独做12天完成,所以乙工作效率为1/12;
丙单独做15天完成,所以丙工作效率为1/15。
甲丙工作效率=甲工作效率+丙工作效率;
乙丙工作效率=乙工作效率+丙工作效率。
解:设还需X天才能完成。
(1/10+1/15)x3十(1/12+1/15)X=1
1/2十3/20X=1
X=10/3
例2:一个进水管和一个出水管,单开进水管5小时就能灌满一池水,在灌水两小时后发现出水管没有关,关闭出水管后再继续向水池灌水,再经4小时才将水池灌满,问单开出水管需多少时间才能把一池水放完?
分析:(4+2)小时的进水量-2小时的出水量=满满的1池水
解:设单开出水管X小时才能把一池水放完。
(4+2)x1/5 - 2/X=1
X=10
三丶市场营销问题
理解在市场营销中商品的进价、标价、折扣(率)、利润(率)的含义及其相互关系。
利润=售价-进价,利润率=(售价-进价)/进价
折扣=标价-售价,折扣率=(标价-售价)/标价
例:某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件。商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售。那么每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?
分析:利润率=利润/进价
解:设每件衬衫降价X元。
(120-80)x400+100(120-X-80)=500x80x45%
解得X=20
四丶分配问题
解题关键:
1.找配对的两类物体的比例关系。
2.找配对的两类物体的等量关系。
例:机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
分析:
加工大齿轮的人数+加工小齿轮的人数=总人数
每人每天加工大齿轮个数x加工大齿轮人数=每天加工大齿轮的总个数
每人每天加工小齿轮个数x加工小齿轮人数=每天加工小齿轮的总个数
大齿轮个数:小齿轮个数=配套比
解:设加工大齿轮的工人有X人,则加工小齿轮的工人有(85-X)人。
16X/10(85-X)=2/3
解得X=25,
所以加工小齿轮的人有:85-25=60人
五丶数字问题
例:一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上数字的3倍少2,若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数。
解析:设十位上的数字为X,则百位上的数字为(X+1),个位上的数字为(3X-2),由题意得
100(X+1)+10X+(3X-2)+100(3X-2)+10X+(X+1)=1171
解得X=3,
所以百位数字为3+1=4,个位数字为3x3-2=7
故原三位数为437。
六丶年龄问题
例:前妈妈的年龄是女儿的7倍,后妈妈的年龄是女儿的2倍,现在母女俩的年龄各是多少岁?
解:设前女儿的年龄为X岁,则前妈妈年龄为7X岁,由题意得
7X+25=2(X+25)
解得X=5,5x7=35岁
5+10=15岁,35+10=45岁
所以妈妈今年45岁,女儿今年15岁。