函数单调性的应用是高中数学的一个常考点，单调性也经常作为一个解题的工具来使用。函数单调性的应用主要需要掌握四种题型：比较大小、解不等式、利用单调性求参数的值或取值范围、利用单调性求函数值域或最值。本文通过典型例题分别介绍函数单调性的四种应用。
一、比较大小
比较函数值的大小是函数单调性的简单应用，其解题的关键是判断出函数的单调性。
本题中，由f(2+x)=f(2-x)可知，f(x)是一个对称函数，且对称轴为直线x=2；又因为f(x)是一个开口向上的二次函数，所以在比较函数值时，只需要比较自变量到对称轴的距离：距离越大，函数值越大；距离越小，函数值越小。
思考：①如果是一个开口向下的二次函数呢？离对称轴越远，函数值是越大还是越小？
②是不是所有的对称函数都可以用到对称轴的距离比较函数值的大小？
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二、解不等式
利用函数单调性解不等式，这个不等式一般是关于函数值的不等式，即f(M)与f(N)的大小关系，通过单调性转化为M与N的大小关系。比如f(x)为增函数，f(M)＜f(N)，则可以得到M＜N，然后解出这个不等式即可。
特别提醒：利用函数单调性解不等式时，一定要注意函数的定义域和单调区间，要保证M、N都在定义域内或者同一个单调区间内。这也是这类题型特别容易出错的一个点，一定要足够重视。
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三、求参数的值或取值范围
利用函数单调性求参数的值或取值范围，常用的方法有定义法、单调性的常用性质法和导数法。导数法要到高二才学习，高一主要用前两个方法求解。
本题利用单调函数的定义求解，难点在于没有明确f(x)是单调递增还是单调递减，需要进行讨论。在讨论过程中，要充分利用定义域排除部分情况，如本题中，不存在实数a使得x1^2+x1x2+x2^2-a＜0恒成立，即可排除f(x)为减函数的情况，计算起来也会更加简单。
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四、利用单调性求函数值域或最值
利用函数单调性求函数值域或最值是函数单调性最基本的应用，也是求函数值域和最值的常用方法。在必修一阶段，这类题目中的函数单调性比较容易判断，因此难度不算大；但是在高二学习导数后，这类题目常与极值和最值结合出题，题目难度大，在高考中甚至经常作为压轴题出现。
