高斯滤波/高斯平滑/高斯模糊的实现及其快速算法(Gaussian Filter, Gaussian Smooth, Gaussian Blur, Fast implementation)
标签：filter算法fftmatlabimage -03-07 14:116009人阅读评论(0)收藏举报版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许。
网上介绍针对图像进行高斯模糊的文章不少，其原理比较简单，这里就不做过多介绍。这里简单总结一下实现高斯模糊的几种算法(假设图像大小是M*N，filter的半径是r，注意，很多文章使用的术语是filter size，指的是半径大小或者直径大小，一般情况下filter的半径r取3倍或者4倍的sigma)：
1.最原始的实现方法是，使用高斯函数生成高斯模板，然后使用该模板对图像做卷积(convolution)。该方法的算法复杂度是O(M*N*r^2)，也就是，对每个像素而言，复杂度是O(r^2)，与滤波器大小成quadratic关系。如果增大滤波器size，算法会明显减慢。
下面是Matlab实现的代码（注意，为了代码方便，以下代码中出现的filter size均指滤波器直径，而不是半径!）：
[plain]view plaincopyfunction[T]=GenGaussFilterKernel(size,sigma) %herethesizeisthediameterofthefilter ifmod(size,2)==0 size=size+1; end T=zeros(size,size); distMat=zeros(size,size); centerIdx=ceil(size/2); fori=1:size forj=1:size distMat(i,j)=sqrt(abs(i-centerIdx)^2+abs(j-centerIdx)^2); end end T=exp(-distMat.^2/(2*sigma^2));[plain]view plaincopyfunction[img_ext]=PaddingImgByMirrorEdge(img,r) [h,w]=size(img); %makealargerimage,mirrortheedges img_ext=zeros(h+2*r,w+2*r); img_ext(r+1:h+r,r+1:w+r)=img; img_ext(1+r:h+r,1:r)=flipdim(img(1:h,2:r+1),2);%addleftborder img_ext(1+r:h+r,w+r+1:w+r+r)=flipdim(img(1:h,w-r:w-1),2);%addrightborder img_ext(1:r,1:w+r+r)=flipdim(img_ext(r+2:r+r+1,1:w+r+r),1);%addupborder img_ext(h+r+1:h+r+r,1:w+r+r)=flipdim(img_ext(h+r-r:h+r-1,1:w+r+r),1);%addbottomborder[plain]view plaincopyfunction[I]=ImageConvolution(img,filterKernel) [h,w]=size(img); filterSize=size(filterKernel); r=floor(filterSize(1)/2); I=zeros(h,w); %makealargerimage,mirrorthebordertoextendit imgExt=PaddingImgByMirrorEdge(img,r); %convolution sumFilter=sum(sum(filterKernel)); tempRegion=zeros(filterSize); fori=1:h forj=1:w tempRegion=imgExt(i:i+2*r,j:j+2*r); I(i,j)=sum(sum(double(tempRegion).*filterKernel))/sumFilter; end end I=uint8(I);
2.高斯滤波器的kernel是可分离的(separable)，也就是说，可以将2D的高斯kernel分解为两个1D的kernel，先沿x方向对图像进行1D高斯kernel的卷积，然后沿y方向对图像进行1D的高斯kernel卷积，最后的结果和使用一个2D高斯kernel对图像卷积效果是一样的。这样一来，针对每个像素，滤波器的算法复杂度降为O(r)。
3.使用FFT-based convolution。因为图像的convolution等价于FFT转换后频域的乘积，所以可以将高斯kernel扩展至与图像同等大小，然后分别对图像和高斯kernel进行FFT变换，然后直接将两者的FFT结果图像按照per pixel的方式相乘，最终结果再逆FFT变换回去。该算法总体复杂度为O(M*N*log(M*N))，针对每个像素，滤波器的复杂度为O(log(M*N))。可以看到，当滤波器size比较小时，该算法不如使用可分离的1D高斯卷积，而当滤波器size比较大(r>log(M*N))时，FFT-based卷积速度会比较快。使用Matlab实现基于FFT的高斯模糊，这里有一篇讲解非常详细的文章。
Matlab代码如下（注意，为了代码方便，以下代码中出现的filter size均指滤波器直径，而不是半径!）：
[plain]view plaincopyfunction[I]=GaussianSmooth(img,filterSize,sigma,is_use_fft) %herethesizeisthediameterofthefilter ifnargin<4 is_use_fft=1; end T=GenGaussFilterKernel(filterSize,sigma);%generategaussiankernel [h,w]=size(img); [d1,d2]=size(T); r=floor(d1/2); r1=floor(h/2); r2=floor(w/2); ifis_use_fft==0 %useconvolutiontoimplement I=ImageConvolution(img,T); else %useffttoimplementGaussiansmooth extImg=PaddingImgByMirrorEdge(img,r); extT=zeros(size(extImg));%extendfilterkerneltothesamesize extT(1:end-h+1,1:end-w+1)=T;%justplacetheoriginalkernelonthetopleft fftImg=fft2(extImg); fftT=fft2(extT); resFFT=fftImg.*fftT;%multiplytheFFTresult resI=ifft2(resFFT);%inverseFFT %calculatecoefficientsofGaussiansmooth extCoef=ones(size(extImg)); fftCoef=fft2(extCoef); resCoef=fftCoef.*fftT; resC=ifft2(resCoef); %outputimage I=uint8(resI./resC); I=I(2*r+1:2*r+h,2*r+1:2*r+w); end
4.递归高斯滤波(Recursive Gaussian Filter)算法。比上面的算法更进一步，有人提出一些approximate高斯滤波的算法，可以使算法速度不依赖于滤波器size，针对每个像素而言，滤波器的算法复杂度是O(1)级别的。这方面的算法原理介绍比较复杂，要理解信号处理相关的知识才能理解(如z变换等，参见如下参考文献)。所幸的是，算法本身其实相当简单，大概思路是正向扫描一遍并累积像素值（累积时使用特定的系数可以approximate高斯kernel），然后再反向扫描一遍并累积像素值，done！而且算法也是separable的，可以x和y方向分别做，所以速度可以达到非常之快！有相关的代码在此，NVIDIA也有CUDA代码在此，最新的GPU快速算法见这里。原理可以参考这里和这里。以下是几篇这方面的参考文献：
[1] Rachid Deriche - "Recursively implementing the Gaussian and its derivatives", 1993.
[2] Lucas J. van Vliet, Ian T. Young and Piet W. Verbeek - "Recursive Gaussian derivative Filters", 1998
[3] Dave Hale, "Recursive Gaussian Filters", CWP-546
[4] Luis Alvarez, Rachid Deriche, Francisco Santana - "Recursivity and PDE's in Image Processing", 2000
高斯滤波/高斯平滑/高斯模糊的实现及其快速算法(Gaussian Filter Gaussian Smooth Gaussian Blur Fast implementation)
