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参数方程、极坐标
[导读]学科：数学 教学内容：参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化....
教学内容：参数方程、极坐标
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是(t为参数)
(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是
(t不参数)②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
(t为参数)
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜
(4)若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是
(是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程是
(为参数)
椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程是
(为参数)
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
(θ为参数)
则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d==｜4cosθ+3sinθ +6｜=5・｜(cosθ+sinθ)+｜=5｜cos(φ-θ)+｜，其中cosφ=，sinφ= .故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现.
例2极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π＋θ)必定是( )
A.关于直线θ=对称B.关于极点对称
C.关于极轴对称D.同一曲线
解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点，
故选D.(三)综合例题赏析
例3椭圆(Φ是参数)的两个焦点坐标是( )
A.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得=1
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4参数方程
(0＜θ＜2π)表示( )
A.双曲线的一支，这支过点(1，)
B.抛物线的一部分，这部分过(1，)
C.双曲线的一支，这支过(-1，)
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)
解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=x2(x＞0).
∴应选B.
例5曲线的参数方程为(0≤t≤5)则曲线是( )
A.线段B.双曲线的一支
C.圆弧D.射线
解 消去t2得，x-2=3(y-1)是直线
又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段
应选A.
例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y==ctg 2t==，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4
解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得
x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是( )
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sin θ)；ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2 B.ρcos θ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4
解：如图.⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例10极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是( )
A.两条射线B.两条相交直线
C.圆D.抛物线
解：由4sin2θ=3,得4・＝3,即y2=3 x2，y=±x,它表示两相交直线.
∴应选B.
【同步达纲练习】
(一)选择题
1.点P的直角坐标为(1，-)，则点P的极坐标为( )
A.(2，) B.(2，) C.(2，-) D.(-2，-)
2.直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切B.相离
C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ2-9=0和ρ= 3；④和.
其中表示相同曲线的组数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是( )
A.重合B.关于极点对称
C.关于直线θ= D.关于极轴对称
5.实数x,y，θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ
变化时，点(x,y)的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是( )
A. B.
C. D.
7.将参数方程(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( )
A. =1(x≠a) B. =1(x≠-a )
C. =1(x≠a) D. =1(x≠-a )
8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为( )
A.(x-)2+(y-)2=1 B.y2=2(x-)
C.(x-)(y-)=0 D.＝1
9.参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线B.两条射线
C.一条直线D.两条直线
10.双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A.y-1=±(x+2) B.y=±x
C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x-2)
11.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )
A.或B.或C.或D.-或-
12.已知曲线(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为( )
A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22)
C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2
13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位 圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向
14.已知过曲线(θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A.(3，4) B.(，2)
C.(-3，-4) D.(，)
15.直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( )
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=(二)填空题
16.双曲线 的中心坐标是.
17.参数方程(θ为参数)化成普通方程为.
18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是.
19.抛物线y2=2px(p＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则= .(三)解答题
20.设椭圆(θ为参数)上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐 标.
21.曲线C的方程为(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知过点P(1，-2)，倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m
(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B为椭圆=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈［0,π］,当t变化时：
(1)求P，Q两动点的轨迹；(2)当｜PQ｜＝时，求t的值.
参考答案
【同步达纲练习】
(一)1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.D 15.D
(二)16.(2，-1)；17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0；19.
(三)20.(，)；21.；
22.(1)m＞,(2)m=3；23.(27-3)；24.Smax=，smin=;
25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0)，(2)t=或t=.
