信息学奥赛一本通 1295：装箱问题 | 1917：【01NOIP普及组】装箱问题 | OpenJudg

【题目链接】

ybt 1295：装箱问题

ybt 1917：【01NOIP普及组】装箱问题

OpenJudge NOI 2.6 8785:装箱问题

洛谷 P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

【题目考点】

1. 动态规划：01背包问题

【解题思路】

该题不能用贪心解决。

如果贪心选择为：每次选择能放入的最大体积的物品。设箱子大小为4，三个物品大小为3 2 2。那么按照贪心选择，会选择3，剩余空间1。但选择两个2是最优解，剩余空间0。如果贪心选择为：每次选择最小体积的物品。设箱子大小为3，两个物品大小为3 2。按照贪心选择，会选择2，剩余空间1。实际选择3是最优解。

该题需要用动规方法解决。

1. 状态定义

状态定义：dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的各种方案中剩余空间最小的方案的剩余空间。

初始状态：

将i个物品放入大小为0的箱子，剩余空间只能为0。所以dp[i][0] = 0。将0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间只能为j。所以dp[0][j] = j。

2. 状态转移方程

记第i个物品的体积为a[i]。

集合：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的各种方案。

依据第i物品是否放入箱子来分割集合。

子集1：不把第i物品放入箱子。那么只能在前i-1个物品中选择物品放入大小为j的箱子。在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间即为：在前i-1个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间。即dp[i][j] = dp[i-1][j]。子集2：在可以将第i物品放入箱子的前提下，确定把第i物品放入箱子，那么箱子剩余空间为j-a[i]。接下来要在前i-1个物品中选择物品放入大小为j-a[i]的箱子。此时在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的最小剩余空间为：在前i-1个物品中选择物品放入大小为j-a[i]的箱子的最小剩余空间，即dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]。以上两种情况取最小值。

可以对该题使用滚动数组优化，使用一维数组作为状态。

【题解代码】

解法1：基本解法 二维状态

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 35#define V 20005int v, n, dp[N][V], a[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的方案中剩余空间最小的方案的剩余空间int main(){cin >> v >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];//a[i]：第i物品的体积 for(int j = 0; j <= v; ++j)//设初值，前0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间为j dp[0][j] = j;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 0; j <= v; ++j){if(j >= a[i])dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a[i]]);elsedp[i][j] = dp[i-1][j];}cout << dp[n][v];return 0;}

解法2：滚动数组优化 一维状态

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 35#define V 20005int dp[V], a[N];//dp[i][j]：在前i个物品中选择物品放入大小为j的箱子的方案中剩余空间最小的方案的剩余空间int main(){int v, n;cin >> v >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];//a[i]：第i物品的体积 for(int j = 1; j <= v; ++j)//设初值，前0个物品放入大小为j的箱子，剩余空间为j dp[j] = j;for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = v; j >= a[i]; --j)dp[j] = min(dp[j], dp[j-a[i]]);cout << dp[v];return 0;}

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