大数的四则运算（加法、减法、乘法、除法）

前言：

在计算机中数字表示的范围是有限制的，比如我们熟知的 int、float、double 等数据类型所能表示的范围都是有限的，如果我们要对位数达到几十位、几百位、上千位的大整数进行计算，这些数据类型显然不能满足我们的要求，因此我们需要通过算法来实现这些功能。

1、大数加法

两个大数我们可以用数组来保存，然后在数组中逐位进行相加，再判断该位相加后是否需要进位，为了方便计算，我们将数字的低位放在数组的前面，高位放在后面。

下面是两个正的大整数相加算法的C语言参考代码：

1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000 // 大数的最大位数5 6 7 /*8 大数加法 9 参数： 10 num1为第一个大数，用字符数组保存11 num2为第二个大数12 sum数组保存相加的结果 即：num1+num2=sum13 返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 14 */15 int Addition(char num1[], char num2[], int sum[])16 {17int i, j, len;18int n2[MAX] = {0};19int len1 = strlen (num1); // 计算数组num1的长度，即大数的位数 20int len2 = strlen (num2); // 计算数组num2的长度，即大数的位数 21 22len = len1>len2 ? len1 : len2; // 获取较大的位数23//将num1字符数组的数字字符转换为整型数字，且逆向保存在整型数组sum中，即低位在前，高位在后24for (i = len1-1, j = 0; i >= 0; i--, j++) 25 sum[j] = num1[i] - '0';26// 转换第二个数 27for (i = len2-1, j = 0; i >= 0; i--, j++)28 n2[j] = num2[i] - '0';29// 将两个大数相加 30for (i = 0; i <= len; i++)31{32 sum[i] += n2[i]; // 两个数从低位开始相加 33 if (sum[i] > 9) // 判断是否有进位 34 { // 进位 35 sum[i] -= 10;36 sum[i+1]++;37 }38}39if(sum[len] != 0) // 判断最高位是否有进位 40 len++;41return len; // 返回和的位数 42 }43 44 int main()45 {46int i, len;47int sum[MAX] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 48char num1[] = "1234567891234567891234"; // 第一个大数 49char num2[] = "2345678912345678913345"; // 第二个大数 50len = Addition(num1, num2, sum); // 两数相加 51printf("%s\n +\n%s\n =\n", num1, num2);52// 反向输出求和结果53for (i = len-1; i >= 0; i--)54 printf("%d", sum[i]);55printf("\n"); 56return 0;57 }

2、大数减法

相减算法也是从低位开始减的。先要判断被减数和减数哪一个位数长，若被减数位数长是正常的减法；若减数位数长，则用被减数减去减数，最后还要加上负号；当两数位数长度相等时，最好比较哪一个数字大，否则负号处理会很繁琐；处理每一项时要，如果前一位相减有借位，就先减去上一位的借位，无则不减，再去判断是否能够减开被减数，如果减不开，就要借位后再去减，同时置借位为1，否则置借位为0。

下面是C语言参考代码：

1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000 // 大数的最大位数5 6 7 /*8 大数减法 9 参数： 10 num1为被减数，用字符数组保存11 num2为减数 12 sum数组保存相减的结果 即：num1-num2=sum13 返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 14 */15 int Subtraction(char num1[], char num2[], int sum[])16 {17int i, j, len, blag;18char *temp;19int n2[MAX] = {0};20int len1 = strlen(num1); // 计算数组num1的长度，即大数的位数 21int len2 = strlen(num2); // 计算数组num2的长度，即大数的位数2223// 在进行减法之前要进行一些预处理 24blag = 0; // 为0表示结果是正整数，为1表示结果是负整数 25if(len1 < len2) // 如果被减数位数小于减数26{27 blag = 1; // 标记结果为负数28 // 交换两个数，便于计算 29 temp = num1;30 num1 = num2;31 num2 = temp;32 len = len1;33 len1 = len2;34 len2 = len;35}36else if(len1 ==len2) // 如果被减数的位数等于减数的位数37{ 38 // 判断哪个数大 39 for(i = 0; i < len1; i++)40 {41 if(num1[i] == num2[i])42 continue;43 if(num1[i] > num2[i])44 {45 blag = 0; // 标记结果为正数 46 break;47 } 48 else49 {50 blag = 1; // 标记结果为负数 51 // 交换两个数，便于计算 52 temp = num1;53 num1 = num2;54 num2 = temp;55 break;56 } 57 } 58}59len = len1>len2 ? len1 : len2; // 获取较大的位数60//将num1字符数组的数字转换为整型数且逆向保存在整型数组sum中，即低位在前，高位在后61for (i = len1-1, j = 0; i >= 0; i--, j++) 62 sum[j] = num1[i] - '0';63// 转换第二个数 64for (i = len2-1, j = 0; i >= 0; i--, j++)65 n2[j] = num2[i] - '0';66// 将两个大数相减 67for (i = 0; i <= len; i++)68{69 sum[i] = sum[i] - n2[i]; // 两个数从低位开始相减 70 if (sum[i] < 0) // 判断是否有借位 71 { // 借位 72 sum[i] += 10;73 sum[i+1]--;74 }75}76// 计算结果长度 77for (i = len1-1; i>=0 && sum[i] == 0; i--)78 ;79len = i+1;80if(blag==1)81{82 sum[len] = -1; // 在高位添加一个-1表示负数 83 len++;84}85return len; // 返回结果的位数 86 }87 88 int main()89 {90int i, len;91int sum[MAX] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 92char num1[] = "987654321987654321"; // 第一个大数 93char num2[] = "123456789123456789"; // 第二个大数 94len = Subtraction(num1, num2, sum); // 两数相减 95// 输出结果96printf("%s\n -\n%s\n =\n", num1, num2);97if(sum[i=len-1] < 0) // 根据高位是否是-1判断是否是负数98{99 printf("-"); // 输出负号100 i--;101}102for (; i >= 0; i--)103 printf("%d", sum[i]);104printf("\n"); 105return 0;106 }

3、大数乘法

首先说一下乘法计算的算法，从低位向高位乘，在竖式计算中，我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘，记录结果，之后，用第二位相乘，记录结果并且左移一位，以此类推，直到计算完最后一位，再将各项结果相加，得出最后结果。

计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为了编程方便，并不急于处理进位，而是将进位问题留待最后统一处理。

总结一个规律: 即一个数的第i 位和另一个数的第j 位相乘所得的数，一定是要累加到结果的第i+j 位上。这里i, j 都是从右往左，从0 开始数。

ans[i+j] = a[i]*b[j];

另外注意进位时要处理，当前的值加上进位的值再看本位数字是否又有进位；前导清零。

下面是C语言的两个正大数相乘的参考代码：

1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000 // 大数的最大位数5 6 7 /*8 大数乘法 9 参数： 10 num1为第一个因数，用字符数组保存11 num2为第二个因数12 sum数组保存相乘的结果 即：num1*num2=sum13 返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 14 */15 int Multiplication(char num1[],char num2[], int sum[])16 {17int i, j, len, len1, len2;18int a[MAX+10] = {0};19int b[MAX+10] = {0};20int c[MAX*2+10] = {0};2122len1 = strlen(num1);23for(j = 0, i = len1-1; i >= 0; i--) //把数字字符转换为整型数 24 a[j++] = num1[i]-'0';25len2 = strlen(num2);26for(j = 0, i = len2-1; i >= 0; i--)27 b[j++] = num2[i]-'0';2829for(i = 0; i < len2; i++)//用第二个数乘以第一个数,每次一位 30{31 for(j = 0; j < len1; j++)32 {33 c[i+j] += b[i] * a[j]; //先乘起来,后面统一进位34 }35}3637for(i=0; i<MAX*2; i++) //循环统一处理进位问题38{39 if(c[i]>=10)40 {41 c[i+1]+=c[i]/10;42 c[i]%=10;43 }44}45 46for(i = MAX*2; c[i]==0 && i>=0; i--); //跳过高位的047len = i+1; // 记录结果的长度 48for(; i>=0; i--)49 sum[i]=c[i];50return len; 51 }52 53 int main()54 {55int i, len;56int sum[MAX*2+10] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 57char num1[] = "123456789123456789"; // 第一个大数 58char num2[] = "123456789123456789"; // 第二个大数 59len = Multiplication(num1, num2, sum);60// 输出结果61printf("%s\n *\n%s\n =\n", num1, num2);62for(i = len-1; i>=0; i--)63 printf("%d", sum[i]); 64printf("\n"); 65return 0;66 }

4、大数除法

大数除法是四则运算里面最难的一种。不同于一般的模拟，除法操作不是模仿手工除法，而是利用减法操作来实现的。其基本思想是反复做除法，看从被除数里面最多能减去多少个除数，商就是多少。逐个减显然太慢，要判断一次最多能减少多少个整数(除数)的10的n次方。

以7546除以23为例：

先用7546减去23的100倍，即减去2300，可以减3次，余下646，此时商就是300 (300=100*3)；

然后646减去23的10倍，即减去230，可以减2次，余下186，此时商就是320 (320=300+10*2)；

然后186减去23，可以减8次，余下2，此时商就是328 (328=320+1*8)；

因为2除以23的结果小于1，而我们又不用计算小数点位，所以不必再继续算下去了。

下面是C语言的两个正大数相除的参考代码，计算结果中没有小数：

1 #include<stdio.h>2 #include<string.h> 3 #define MAX 1000 // 大数的最大位数4 5 // 注： 6 // 本代码在以下博客代码中进行修改： 7 // /javawebsoa/archive//08/01/3231078.html8 // 9 10 11 /*12 函数SubStract功能：13 用长度为len1的大整数p1减去长度为len2的大整数p214 结果存在p1中，返回值代表结果的长度15 不够减：返回-1 ， 正好够：返回016 */ 17 int SubStract(int *p1, int len1, int *p2, int len2)18 {19int i;20if(len1 < len2)21 return -1;22if(len1 == len2 )23{ // 判断p1 > p224 for(i = len1-1; i >= 0; i--)25 {26 if(p1[i] > p2[i]) // 若大，则满足条件，可做减法27 break;28 else if(p1[i] < p2[i]) // 否则返回-129 return -1;30 }31}32for(i = 0; i <= len1-1; i++) // 从低位开始做减法33{34 p1[i] -= p2[i]; // 相减 35 if(p1[i] < 0) // 若是否需要借位36 { // 借位 37 p1[i] += 10;38 p1[i+1]--;39 }40}41for(i = len1-1; i >= 0; i--) // 查找结果的最高位42{43 if( p1[i] ) //最高位第一个不为044 return (i+1); //得到位数并返回45} 46return 0; //两数相等的时候返回047 }48 49 50 /*51 大数除法---结果不包括小数点 52 num1 被除数53 num2 除数 54 sum 商，存放计算的结果，即：num1/num2=sum55 返回数组sum的有效长度，即商的位数 56 */ 57 int Division(char num1[], char num2[], char sum[])58 {59int k, i, j;60int len1, len2, len=0;//大数位数61int dValue;//两大数相差位数62int nTemp; //Subtract函数返回值63int num_a[MAX] = {0};//被除数64int num_b[MAX] = {0};//除数65int num_c[MAX] = {0};//商 66 67len1 = strlen(num1); //获得大数的位数68len2 = strlen(num2);6970//将数字字符转换成整型数，且翻转保存在整型数组中 71for( j = 0, i = len1-1; i >= 0; j++, i-- )72 num_a[j] = num1[i] - '0';73for( j = 0, i = len2-1; i >= 0; j++, i-- )74 num_b[j] = num2[i] - '0';75 76if( len1 < len2 )//如果被除数小于除数，直接返回-1，表示结果为077{78 return -1;79}80dValue = len1 - len2;//相差位数81for (i = len1-1; i >= 0; i--) //将除数扩大，使得除数和被除数位数相等82{83 if (i >= dValue)84 num_b[i] = num_b[i-dValue];85 else//低位置086 num_b[i] = 0;87}88len2 = len1;89for(j = 0; j <= dValue; j++ ) //重复调用，同时记录减成功的次数，即为商90{91 while((nTemp = SubStract(num_a, len1, num_b+j, len2-j)) >= 0)92 {93 len1 = nTemp; //结果长度94 num_c[dValue-j]++; //每成功减一次，将商的相应位加195 }96}97// 计算商的位数，并将商放在sum字符数组中 98for(i = MAX-1; num_c[i] == 0 && i >= 0; i-- ); //跳过高位0，获取商的位数 99if(i >= 0)100 len = i + 1; // 保存位数 101for(j = 0; i >= 0; i--, j++)// 将结果复制到sum数组中 102 sum[j] = num_c[i] + '0';103sum[j] = '\0'; // sum字符数组结尾置0 104return len;// 返回商的位数 105 } 106 107 108 int main()109 {110int i;111int len;// 商的位数112char num1[MAX] = "1234567899876543210"; // 第一个大数113char num2[MAX] = "0415123025"; // 第二个大数114char sum[MAX] = {0}; // 计算结果 115 116//scanf("%s", num1);//以字符串形式读入大数117//scanf("%s", num2);118119len = Division(num1, num2, sum); 11//输出结果122printf("%s\n ÷\n%s\n =\n", num1, num2);123if( len>=0 )124{125 for(i = 0; i < len; i++ )126 printf("%c", sum[i]);127}128else129{130 printf("0");131}132printf("\n");133134return 0;135 }

5、使用Java提供的类

在Java中提供了BigInteger类和BigDecimal类，分别用来处理大整数和大浮点数，我们只要调用里面提供的方法就能很方便的进行大数的四则运算，具体实现可参考：