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埃舍尔的版画《瀑布》，画中周而复始的水流，象征着“怪圈”
艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在剑桥大学时的数学老师艾萨克·
巴罗（Isaac Barrow）有一句名言：“数学，是科学不可撼动的基础，是人类事务丰富的利益之源。”人工智能领域的研究，从诞生开始，就得益于数学、神经科学、心理学和语言学等基础学科，其中数学是对人工智能影响最大的基础学科。在本章中，我们将回顾对人工智能有较大影响的数学思想和理论，以及创造这些理论的科学家，涉及微积分、概率论、数论和数理逻辑等领域。
牛顿
许多杰出的数学家在17世纪取得了辉煌的成就，所以英国哲学家怀特海把17世纪称为“天才的世纪”。在闪耀的群星中，分别独立发明微积分的牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）也许是其中最耀眼的天才。
1637年，法国哲学家笛卡儿在他的哲学著作《方法论》中，以附录的形式发表了《几何学》，其中包含了他创立的解析几何的核心原理，即解析几何的基础是平面直角坐标系。直角坐标系在代数和几何之间架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。笛卡儿的这一成就为微积分的创立奠定了基础。
1643年1月4日，牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的伍尔索普村。牛顿出生时，英格兰采用的仍然是儒略历，比我们现在通用的格里高利历要差10天，在儒略历中，他的生日是1642年的圣诞节。牛顿从小喜欢读书并喜欢制作各种机械模型，比如风车、水钟和日晷。1665年，从剑桥大学毕业后，牛顿回家乡林肯郡躲避鼠疫，待了两年。正是在这两年的清静时光中，牛顿取得了微积分和万有引力定律的伟大突破。牛顿将微积分称为“流数法”，并将微积分完美地应用于物理学中。在1688年发表的巨著《自然哲学的数学原理》中，牛顿用简洁的数学公式描述了万有引力定律和三大运动定律，从而奠定了经典物理学的基础。
牛顿
除了在数学和物理学上的巨大贡献，牛顿在科学研究方法论上也贡献良多。在《自然哲学的数学原理》中，牛顿写道：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，总是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法⋯⋯一般来说，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，一直论证到最普遍的原因为止，这就是分析的方法；而综合的方法则假定原因已找到，并且已经把它们定为原理，再用这些原理去解释由它们发生的现象，并证明这些解释的正确性。”这一套科学的分析和综合的方法，配合上微积分这一强大的数学工具，通过“微分”实现从整体到部分的分析，“积分”实现从部分到整体的综合，为各个学科的科学研究都打下了坚实的基础。
微积分这一伟大的数学成果，深刻地反映了现实世界运行的本质，因此用途极广，在人工智能领域也被广泛使用。比如，在目前人工智能研究最火热的深度学习方向，其中最核心的反向传播算法，其数学基础仍然是微积分中的导数和收敛等概念。
莱布尼茨
莱布尼茨，1646年7月1日出生于德国的东部名城莱比锡，他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授，在莱布尼茨6岁时去世，留下了一个私人的图书馆。莱布尼茨从小就很聪慧，12岁时自学拉丁文，大量阅读了父亲私人图书馆中的拉丁文古典著作。14岁时，莱布尼茨进入莱比锡大学攻读法律，20岁时他递交了一篇出色的博士论文，因为年纪太轻被拒（黑格尔认为是学识过于渊博的原因），第二年纽伦堡的一所大学授予他博士学位。
莱布尼茨
莱布尼茨是历史上少见的通才，获誉为17世纪的亚里士多德，著名的哲学家罗素称赞他为“千古绝伦的大智者”。莱布尼茨最大的成就在哲学和数学方面，但他却不是一个职业学者，他经常以法律顾问或幕僚的身份为德意志贵族服务，往返于欧洲各大城市。他发现的许多数学公式都是在颠簸的马车上完成的，其中最优美的是他在伦敦旅行期间发现的圆周率的无穷级数表达式。
在微积分的发明权归属方面，现在历史学家的共识是牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分。莱布尼茨发明的时间晚，但发表在先（于1684年和1686年）。在微积分的表达形式方面，莱布尼茨花了很多精力去选择巧妙的记号，现代教科书中的积分符号“∫”和微分符号“dx”都是莱布尼茨发明的。
莱布尼茨有两个贡献深远地影响了后来的计算机科学。首先，莱布尼茨改进了布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）的加法器，实现了可以计算乘法、除法和开方的机械计算机，这对后来的计算机先驱巴贝奇有很大的启发作用。更重要的是，他发现了二进制，二进制使得所有的整数都可以用简单的0和1两个数来表示，最终使得电子计算机中数字的存储和运算被大大简化。有趣的是，莱布尼茨后来看到中国《易经》中的六十四卦（见图7.3），他相信中国古人已经在其中巧妙地藏匿了二进制的奥秘。那一刻，也许莱布尼茨会有一种穿越时空，和2800年前创造《周易》的周文王姬昌心心相印的感觉吧。
周易六十四卦
费马
很多历史学家认为，概率论最早的起源来自于两位数学天才帕斯卡和皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的通信。1654 年，帕斯卡的好友，法国骑士德·梅雷向他提出了一个问题:“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局则赢得赌本。若当一人赢了a局(a<s) ，另一人赢b局(b<s)时，中止赌博，问赌本应如何公平分配 ?”帕斯卡开始认真思考这个问题，并在给费尔马的信件中提到了这个问题。在这一段数学史上有名的来往信件中，两人取得了一致意见：在被迫停止的赌博中，应当按每个局中人赌赢的数学期望来分配桌面上的赌注。
举例说明，假设甲乙双方约定先赢三局为胜，假设甲已赢了两局，乙已赢了一局，此时赌博中止。如果要分出胜负，最多还需要再玩两局,结果有四种等可能的情况：(甲胜，甲胜)，(甲胜，乙胜)，(乙胜，甲胜)，(乙胜，乙胜)。在前面三种情况下，甲赢得全部赌金，仅第四种情况使乙获得全部赌金。因此甲有权分得赌金的3/4，而乙应分赌金的1/4。用数学期望来说，甲赌赢的数学期望为75%，乙赌赢的数学期望为25%。
1601年，费马生于法国南部小镇博蒙·德洛马涅，是一个富有的皮革商人的孩子。费马成年后的主要职业是法律顾问，业余时间几乎全部献给了数学研究，在数论和概率论等方面成果卓著，被誉为“业余数学家之王”。费马生前一直没有发表他的成果，幸亏他的长子克莱蒙意识到父亲业余研究成果的重要价值，花了5年时间整理了父亲写在书页间的评注，1670年最终出版了《附有皮埃尔·德·费马评注的丢番图的算术》一书，费马的伟大贡献才没有被湮没。
费马最著名的成果是费马大定理：当整数n>2时，关于x、y、z的方程xn+yn=zn没有正整数解，如图7.4所示。费马把这个数论命题写在古希腊数学家丢番图的著作《算术》一书的空白处，在这个评注后面又加了一句：“对此命题我有一个非常美妙的证明，可惜此处的空白太小，写不下来。”此后的300多年，无数的数学家前仆后继，试图证明这一难题，在这个漫漫征途中，又催化出了“理想数”“莫德尔猜想”“谷山－志村猜想”等许多数学成果，有数学家甚至将费马大定理比作“下金蛋的鸡”。1995年，英国著名数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在他以前的博士生理查德·泰勒的帮助下，基于无数前辈的工作，完成了最终的证明，论文的题目是《模椭圆曲线和费马大定理》（Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem）。
费马及费马大定理
和费马大定理相似，人工智能特别是所谓“强人工智能”的研究，也不断推动着计算机科学、认知科学等多个学科的发展，也可以被称为“下金蛋的鸡”，未来，可以期待有更多的精彩成果出现。
